Ábhar

• Réamhfhaisnéis
• Céimeanna
• Cuid 1 de 3: Na Basics
• Cuid 2 de 3: Athraíonn airíonna an Laplace
• Cuid 3 de 3: An Claochlú Laplace a Aimsiú de réir Leathnaithe Sraithe

Is claochlú lárnach é an claochlú Laplace a úsáidtear chun cothromóidí difreálacha le comhéifeachtaí seasmhach a réiteach. Úsáidtear an claochlú seo go forleathan san fhisic agus san innealtóireacht.

Cé gur féidir leat na táblaí cuí a úsáid, tá sé ina chuidiú an claochlú Laplace a thuiscint ionas gur féidir leat é a dhéanamh leat féin más gá.

Réamhfhaisnéis

• Tabhair feidhm ${ displaystyle f (t)}$sainithe do ${ displaystyle t geq 0.}$ Ansin Claochlú Laplace feidhm ${ displaystyle f (t)}$ an chéad fheidhm eile de gach luach ${ displaystyle s}$, ag a dtagann an dlúthchuid le chéile:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Glacann an claochlú Laplace feidhm ón t-réigiún (scála ama) go dtí an s-réigiún (réigiún claochlaithe), áit a bhfuil ${ displaystyle F (s)}$ is feidhm chasta athróg chasta í. Ligeann sé duit an fheidhm a bhogadh go limistéar inar féidir réiteach a fháil níos éasca.
• Ar ndóigh, is oibreoir líneach é an claochlú Laplace, mar sin má táimid ag déileáil le suim téarmaí, is féidir gach slánuimhir a ríomh ar leithligh.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Cuimhnigh nach n-oibríonn an claochlú Laplace ach amháin má thagann an slánuimhir le chéile. Má tá an fheidhm ${ displaystyle f (t)}$ má tá neamhleanúnachas ann, is gá a bheith cúramach agus teorainneacha an chomhtháthaithe a shocrú i gceart d’fhonn éiginnteacht a sheachaint.

Céimeanna

Cuid 1 de 3: Na Basics

1. 1 Cuir an fheidhm in ionad na foirmle trasfhoirmithe Laplace. Teoiriciúil, tá sé an-éasca an trasfhoirmiú Laplace ar fheidhm a ríomh. Mar shampla, smaoinigh ar an bhfeidhm ${ displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, cá ${ displaystyle a}$ tairiseach casta le ${ displaystyle operatorname {Re} (s) ainm úsáideora {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Déan an t-eilimint a mheas trí na modhanna atá ar fáil a úsáid. Inár sampla, tá an meastachán an-simplí agus is féidir leat a fháil trí ríomhanna simplí. I gcásanna níos casta, d’fhéadfadh go mbeadh gá le modhanna níos casta, mar shampla, comhtháthú le codanna nó difreáil faoin gcomhartha lárnach. Coinníoll srianta ${ displaystyle operatorname {Re} (s) ainm úsáideora {Re} (a)}$ ciallaíonn sé go dtagann an luach le chéile, is é sin, go bhfuil a luach claonadh go 0 mar ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} deireadh {ailínithe}}}$
   • Tabhair faoi deara go dtugann sé seo dhá chineál claochlaithe Laplace dúinn, le sine agus cosine, ós rud é de réir fhoirmle Euler ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Sa chás seo, san ainmneoir a fhaighimid ${ displaystyle s-ia,}$ agus níl ann ach na codanna réadúla agus samhlaíocha a chinneadh. Féadfaidh tú an toradh a mheas go díreach freisin, ach thógfadh sé sin beagán níos faide.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = ainm úsáideora {Re} ar chlé ({ frac {1} {s-ia}} ar dheis) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = ainm úsáideora {Im} ar chlé ({ frac {1} {s-ia}} ar dheis) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Smaoinigh ar chlaochlú Laplace ar fheidhm chumhachta. Ar dtús, ní mór duit claochlú na feidhme cumhachta a shainiú, ós rud é go gceadaíonn an mhaoin líneachta duit an claochlú a fháil de gach rud polynomials. Feidhm den fhoirm ${ displaystyle t ^ {n},}$ áit ${ displaystyle n}$ - aon slánuimhir dearfach. Is féidir é a chomhtháthú píosa ar phíosa chun riail athchúrsach a shainiú.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Cuirtear an toradh seo in iúl go hintuigthe, ach má chuireann tú roinnt luachanna in ionad ${ displaystyle n,}$ is féidir leat patrún áirithe a bhunú (déan iarracht é a dhéanamh tú féin), a ligeann duit an toradh seo a leanas a fháil:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Is féidir leat an claochlú Laplace ar chumhachtaí codánacha a shainiú freisin agus an fheidhm gáma á úsáid agat. Mar shampla, ar an mbealach seo is féidir leat claochlú feidhme mar ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Gamma (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Cé go gcaithfidh ciorruithe a bheith ar fheidhmeanna le cumhachtaí codánacha (cuimhnigh, aon uimhreacha casta ${ displaystyle z}$ agus ${ displaystyle alpha}$ is féidir a scríobh mar ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, mar gheall ar an ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), is féidir iad a shainiú i gcónaí sa chaoi is go luíonn na ciorruithe sa leathphlána ar chlé, agus ar an gcaoi sin fadhbanna le hanailísíocht a sheachaint.

Cuid 2 de 3: Athraíonn airíonna an Laplace

1. 1 Lig dúinn claochlú Laplace na feidhme a iolrú faoi eat{ displaystyle e ^ {at}}. Lig na torthaí a fuarthas sa chuid roimhe seo dúinn roinnt airíonna suimiúla a bhaineann leis an gclaochlú Laplace a fháil amach. Is cosúil go bhfuil claochlú Laplace ar fheidhmeanna cosúil le cosine, sine agus feidhm easpónantúil níos simplí ná an claochlú feidhme cumhachta. Iolrú faoi ${ displaystyle e ^ {at}}$ sa réigiún t comhfhreagraíonn do aistriú sa s-réigiún:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Ligeann an mhaoin seo duit claochlú feidhmeanna mar ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, gan an dlúthchuid a ríomh:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Lig dúinn claochlú Laplace na feidhme a iolrú faoi tn{ displaystyle t ^ {n}}. Ar dtús, smaoinigh ar iolrú faoi ${ displaystyle t}$... De réir sainmhínithe, is féidir feidhm a dhifreáil faoi dhlúthchuid agus toradh ionadh simplí a fháil:
   • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} deireadh {ailínithe}}}$
   • Ag athrá na hoibríochta seo, faighimid an toradh deiridh:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Cé go dteastaíonn údar breise le hathchóiriú oibreoirí an chomhtháthaithe agus an difreála, ní chuirfimid i láthair é anseo, ach tabhair faoi deara go bhfuil an oibríocht seo ceart má tá ciall leis an toradh deiridh. Is féidir leat a chur san áireamh freisin go bhfuil na hathróga ${ displaystyle s}$ agus ${ displaystyle t}$ ná bí ag brath ar a chéile.
   • Agus an riail seo á húsáid agat, is furasta claochlú feidhmeanna mar ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, gan iad a ath-chomhtháthú le codanna:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Faigh claochlú Laplace na feidhme f(at){ displaystyle f (at)}. Is féidir é seo a dhéanamh go héasca tríd an athróg a chur in ionad u trí úsáid a bhaint as an sainmhíniú ar chlaochlú:
   • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F chlé ({ frac {s} {a}} deas) deireadh {ailínithe}}}$
   • Thuas, fuair muid claochlú feidhmeanna Laplace ${ displaystyle sin at}$ agus ${ displaystyle cos at}$ go díreach ón bhfeidhm easpónantúil. Agus an mhaoin seo á húsáid agat, féadfaidh tú an toradh céanna a fháil má aimsíonn tú na codanna réadúla agus samhlaíocha ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Faigh claochlú Laplace an díorthaigh f′(t){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Murab ionann agus na samplaí roimhe seo, sa chás seo caithigh comhtháthú píosa ar phíosa:
   • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (í) -f (0) deireadh {ailínithe}}}$
   • Ó tharla go dtarlaíonn an dara díorthach i go leor fadhbanna fisiciúla, feicimid go n-athraíonn an Laplace dó freisin:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Go ginearálta, sainmhínítear claochlú Laplace an díorthach naoú ordú mar seo a leanas (ceadaíonn sé seo cothromóidí difreálacha a réiteach trí úsáid a bhaint as an gclaochlú Laplace):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n-1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Cuid 3 de 3: An Claochlú Laplace a Aimsiú de réir Leathnaithe Sraithe

1. 1 Lig dúinn an claochlú Laplace a fháil le haghaidh feidhm thréimhsiúil. Sásaíonn an fheidhm thréimhsiúil an coinníoll ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ áit ${ displaystyle T}$ is í tréimhse na feidhme, agus ${ displaystyle n}$ is slánuimhir dearfach é. Úsáidtear feidhmeanna tréimhsiúla go forleathan i go leor feidhmchlár, lena n-áirítear próiseáil comharthaí agus innealtóireacht leictreach. Agus claochluithe simplí á n-úsáid againn, faighimid an toradh seo a leanas:
   • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { ailínithe}}}$
   • Mar a fheiceann tú, i gcás feidhm thréimhsiúil, is leor an claochlú Laplace a dhéanamh ar feadh tréimhse amháin.
2. 2 Déan an claochlú Laplace don logarithm nádúrtha. Sa chás seo, ní féidir an t-eilimint a chur in iúl i bhfoirm bunfheidhmeanna. Trí úsáid a bhaint as an bhfeidhm gáma agus as a leathnú sraithe is féidir leat an logarithm nádúrtha agus a céimeanna a mheas. Láithreacht tairiseach Euler-Mascheroni ${ displaystyle gamma}$ léiríonn sé gur gá leathnú sraithe a úsáid chun an dlúthchuid seo a mheas.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Smaoinigh ar chlaochlú Laplace ar an bhfeidhm sinc neamhghnácha. Feidhm ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ a úsáidtear go forleathan le haghaidh próiseála comhartha, i gcothromóidí difreálacha tá sé comhionann le feidhm sféarúil Bessel den chéad chineál agus ord nialasach ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Ní féidir claochlú Laplace na feidhme seo a ríomh trí mhodhanna caighdeánacha freisin. Sa chás seo, déantar claochlú ar bhaill aonair na sraithe, ar feidhmeanna cumhachta iad, agus mar sin is gá go dtagann a gcuid claochluithe le chéile ar eatramh áirithe.
   • Ar dtús, scríobhaimid leathnú na feidhme i sraith Taylor:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Anois bainimid úsáid as an gclaochlú Laplace ar fheidhm chumhachta cheana féin. Cealaítear na fachtóirí, agus mar thoradh air sin faighimid leathnú Taylor don arctangent, is é sin, sraith ailtéarnach atá cosúil le sraith Taylor don sine, ach gan fhachtóirí:
     • ${ displaystyle { begin {ailínithe} { mathcal {L}} ar chlé {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} deireadh {ailínithe}}}$